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ScienceSource.info / Artikel / Astrophysik

De-Sitter-Universum

Man besitzt nur dann eine wissenschaftliche Theorie, wenn die Gesetzte der Physik überall gelten, auch zu beginn des Universums, warum sollte auch ein Punkt gegenüber einem anderen nicht gleichberechtigt sein, und eine gleichere Behandlung gibt es in einer Demokratie nicht.
Um diese Vorstellung etwas näher aus zu führen, sollte man im Pfadintegral nur über nichtsinguläre Metriken integrieren, doch wie schon aus dem üblichen Pfadintegral bekannt, dass das Maß auf nichtdifferenzierbare Pfade konzentriert ist. Analog dazu könnte man erwarten, dass das Pfadintegral für die Quantengravitation über der Vervollständigung des Raumes der glatten Metrik zu nehmen sei, wie die klassischen in einer geeigneten Topologie die Vervollständigung der Menge der glatten Pfade mit wohldefinierter Wirkung.
Metriken mit Singularitäten deren Wirkung nicht definiert ist, sollen nicht zum Pfadintegral beitragen. Im Falle von schwarzen Löchern beispielsweise sind Pfadintegrale über euklidische (positiv definiten) Metriken zu nehmen. Bei der Schwarzschildlösung erscheinen eben aus diesem Grund auch die Singularitäten nicht, dagegen entspricht der Ereignis Horizont den Ursprüngen der Polarkoordinaten, und die Wirkung der Metrik ist wohl definiert. Man könnte dies sogar als eine Quantenversion der kosmischen Zensur interpretieren, denn der Zusammenbruch der Struktur bei einer Singularität sollte physikalische Messungen nicht beeinflussen. Es gibt daher zwei Randbedingungen welche für das Pfadintegral der Quantengravitation gelten, die eine betrifft Metriken, die sich außerhalb einer kompakten Menge der flachen euklidischen Metrik annähern, die andere Metriken auf Mannigfaltigkeiten, die kompakt und ohne Rand sind.
Bei der ersten Klasse werden unendliche Messungen bzw. Messungen von unendlichem erstellt, denn diese ist für die Streurechnung geeignet, und kleine Fluktuationen in den Feldern können auf die gängige Art als Teilchen interpretiert werden. Man fragt dabei nicht, was im Wechselwirkungsgebiet vor sich geht, doch in der Kosmologie ist man an Messungen interessiert, welche in einem endlichen Gebiet vorgenommen werden, oder anders ausgedrückt, wir befinden uns im Universum, und sehen nicht von außen hinein. Wir müssen aus diesem Grunde zwei verschiedene Arten von asymptotischen euklidischen Metriken betrachten, zusammenhängende und unzusammenhängende.
Dabei spielen aber unzusammenhängende kompakte Gebiete der Raumzeit keine Rolle bei der Streurechnung, da sie nicht im unendlichen, wo alle Messungen stattfinden, verbunden sind. Diese beeinflussen allerdings Messungen in der Kosmologie, welche im endlichen durchgeführt werden, tatsächlich würde sogar der Betrag dieser Metriken gegenüber der Zusammenhängenden dominieren. Es scheint daher naheliegend zu sein, dass Pfadintegral über alle kompakten Metriken ohne Rand zu definieren, was 1983 auch von Hartle und Hawking vorgeschlagen wurde - der Keine-Rand-Vorschlag:
Das Pfadintegral der Quantengravitation sollte über alle kompakten euklidischen Metriken ausgeführt werden.
Damit wird auch ein expandierendes, isotropes und homogenes Universum mit einigen kleinen Störungen möglich, wobei wir die Abweichungen im Spektrum der kosmischen Hintergrundstrahlung erkennen können.
Man betrachte die Wahrscheinlichkeit, dass die Raumzeitmannigfaltigkeit M eine eingebettete dreidimensionale Mannigfaltigkeit Σ mit induzierter Metrik hij enthält, wobei diese durch das Pfadintegral über alle Metriken gab auf M gegeben ist, die hij auf Σ induzieren. Wir können M teilen, und durch zwei Wellenfunktionen, ?+ ?- beschreiben, welche durch Pfadintegrale über M+ bzw. M- gegeben sind, welche die gegebene Dreiermetrik hij auf Σ induzieren.
Betrachten wir ein einfaches Beispiel, ein Materiefreies Universum mit der positiven kosmologischen Konstante Λ, und als Fläche Σ eine Dreisphäre so wie als Metrik hij die Metrik auf der runden Dreisphäre mit Radius a. Für die durch Σ begrenzte Mannigfaltigkeit kann dann die vierdimensionale Kugel gewählt werden. Die Metrik, welche den Feldgleichungen genügt ist Teil einer Viersphäre mit Radius 1/H, wobei H2 = Λ/3. Wenn der Radius von Σ kleiner als 1/H ist, wächst die Wellenfunktion exponentiell an, falls jedoch a größer als dieser Term ist, stellt das Ergebnis ein stark oszillierende Wellenfunktion dar.
Die Lösung der Einstein-Gleichungen mit einem Λ-Term und maximaler Symmetrie ist für die reelle Zeit der De-Sitter-Raum, dieser kann als Hyperboloid in einen fünfdimensionalen Minkowski-Raum eingebettet werden.
Lorenzsche De-Sitter-Metrik
ds2=-dt2+1/H2cosh2Ht(dr2+sin2r(dθ2+sin2θdφ2))
Man kann sich dies als ein geschlossenes Universum vorstellen, welches von unendlicher Größe auf einen Minimalradius zusammenschrumpft, und sich danach erneut exponentiell ausdehnt.
Formen wir die Metrik in ein Friedmann-Universum um, in dem wir den Skalenfaktor cosh Ht einsetzten, so wie τ = it, so wird aus dem cosh der cos, welcher die euklidische Metrik auf eine Viersphäre mit dem Radius 1/H ergibt.
Euklidische Metrik
ds2=-dτ2+1/H2cos2Hτ(dr2+sin2r(dθ2+sin2θdφ2))
Der zur Entstehung eines Universums führende Tunnelprozess wird nun dadurch beschrieben, dass man die halbe euklidische an eine halbe Lorenzsche Lösung anfügt. Anders als bei der Paarerzeugung Schwarzer Löcher kann man beim De-Sitter-Universum nicht mehr sagen, es sei aus Feldenergie in einem vorher existierenden Raum entstanden, sondern man kann von einer Entstehung aus dem nichts sprechen, nicht dem leeren Vakuum, sondern dem absolutem Nichts. Dieses Beispiel entspricht zwar nicht exakt dem unsrigen Universum, stellt allerdings bereits eine gute Näherung für das Frühstadium dar.
Version 3.2      © 2001-2008 Harald Wolfsgruber