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ScienceSource.info / Artikel / Astrophysik

Wheeler-de-Witt-Gleichung

Die Allgemeine Relativitätstheorie ist nicht nur eine Theorie im gegebenen Rahmen der Raum-Zeit, sie ist die Theorie der Raum-Zeit, und die Einsteinschen Gleichungen lassen zunächst keine kanonische Struktur erkennen, den ersten Schritt zu einer Quantisierung stellt damit eine derartige Darstellung dar.
Dafür betrachten wir zunächst die stetig differenzierbare Funktion t=t(x2) die als kosmische Zeit angehe werden kann. Die Raum-Zeit stellen wir nun als eine folge von Räumen dar, deren innere Geometrie und relative Lage die Gravitationsfelder bestimmen. Dabei ist die Folge von Räumen ein 3-dimensionaler Raum - eine Cauchy-Hyperfläche - deren Zustand durch einen metrischen Tensor des zugehörigen Linienelements gegeben ist. Auf diesem Wege gelangt man zur Vorstellung eines Superraums, wobei ein Punkt in diesem bereits ein ganzer 3-dimensionaler Raum mit einer Materiefeldkonfiguration ist, dessen Koordinaten durch eine Metrik gegeben sind. Die bisherigen Geschehnisse im Kosmos sind damit in einer Kurve des Superraums darstellbar.

Nach dem Ersetzten der allgemeinen Muster in der Feldtheorie ersetzt man die Impulse durch die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten und diese entsprechen so den Vertauschungsrelationen von Ort und Impuls. Die Impuls-Zwangsbedingung ist der quantenmechanische Ausdruck für die Kovarianz in den Flächen, der konstant ist, d.h. für die Invarianz der Theorie unter 3-dimensionen Diffeomorphismen aufweist. Führen wir die Ersetzung durch, so erhalten wir eine formale Differentialgleichung zweiter Ordnung, die Wheeler-de-Witt-Gleichung.
(Gijkl(∂/(∂hij∂hkl))-h1/2 3R)Ψ = 0
In ihr kommt zum Ausdruck, dass die Gesamtenergie eines geschlossenen Universums null entspricht, und somit verschwindet (dies folgt aus der Reparametrisierung-Invarianz der Theorie).
Version 3.2      © 2001-2008 Harald Wolfsgruber