Das elektromagnetische Feld und seine Energie

In jedem Raumpunkt, gekennzeichnet durch einen Ortsvektor r, und zu jeder Zeit t hat man sich je einen Vektor der elektrischen und der magnetischen Feldstärke zu denken. Die Zeitliche Entwicklung der Feldverteilung wird durch linear gekoppelte partielle Differentialgleichungen, eben die Maxwellschen Gleichungen, beschrieben.
Die Feldstärken haben natürlich eine direkte Physikalische Bedeutung, denn bringt man einen elektrisch geladenen Probekörper in das Feld, so erfährt er eine Kraft, die durch das Produkt seiner Ladung Q und der elektrischen Feldstärke E gegeben ist. In analoger Weise beschreibt die magnetische Feldstärke H, genauer die magnetische Induktion B=μH mit μ als Permeabilität) die auf isoliert gedachten Magnetpol ausgeübte mechanische Kraft. Dem Elektromagnetischem Feld ist allerdings auf der anderen Seite ein Energieinhalt zugeschrieben, bzw. da man sich in Feldtheorien die Energie nur kontinuierlich im Raum verteilt vorstellen kann, eine räumliche Energiedichte.
Auf folgendem Wege lässt sich herausfinden, wie diese mit der Feldstärke zusammenhängt.
∂/∂t(1/2 εE² + 1/2 μH²) + EJ + divS = 0      (1.1)
Hier bezeichnet J die elektrische Stromdichte, und der Vektor S wird als Abkürzung für das vektorielle Produkt eingeführt.
S = E × H      (1.2)
Weiter nehmen wir an, dass ein homogenes, isotropes Medium mit der Dielektrizitätskonstante ε und der Permeabilität ρ vorliegen.
Integrieren wir nun diese Gleichung über ein beliebig gewähltes Volumen V, so finden wir unter der Zuhilfenahme des gausschen Satzes die Relation
∂/∂t∫(V){(1/2 εE² + 1/2 μH²)d³r} + ∫(V){EJd³r} + ∫(O){S_ndf} = 0      (1.3)
mit O als Oberfläche des Volumens, df als Element dieser Oberfläche und S_n als Normalkomponente des Poynting-Vektors S.
EJ aus Gl. 1.1 ässt sich am leichtersten physikalisch als auf die Volumseinheit bezogene Arbeit, die das elektrische Feld in der Zeiteinheit an einem elektrischen Strom vernichtet., und sich normalerweise als wärme wiederfindet, interpretieren. Es liegt daher auch nahe, Gl. 1.3 als eine Energiebilanz, in der zeitlichen Änderung der im Volumen gespeicherten elektromagnetischen Energie, einerseits durch eventuelle Arbeitsleistung, und andererseits durch ein Hineinfließen von Energie.
Das bedeutet wir interpretieren die Größe
u = 1/2 εE² + 1/2 μH²      (1.4)
als die Dichte der elektrischen Energie, in Analogie zur Deformationsenergie in einem elastischen Medium, während der Poynting-Vektors als Repräsentant der Energiestromdichte aufzufassen ist.
Aus Gl. 1.1 ist allerdings ersichtlich, das wir beliebig Wirbelfelder addieren können, ohne dass sich die Energiebilanz ändert. Ich möchte an dieser stelle nicht näher auf dieses Problem und die darum entstandenen Diskussionen eingehen, stelle aber fest, dass kein eindeutiges Bild einer Energieströmung vermittelt wird.
Gemäß Gl. 1.2 strömt ständig Energie aus einem Volumselement heraus, stets so viel wie hinein. Ein interessanter Aspekt dieser kontinuierlichen Verteilung der Energie im Raum, welches sich nicht nur in den Maxwellschen Gleichungen, sondern in jeder klassischen Feldtheorie ergibt, ist die daraus folgende beliebige Verdünnbarkeit der Energie. Für tatsächliche Messungen gilt allerdings das Alles-oder-Nichts-Prinzip, entweder findet man bei einer Messung in einem vorgesehenem Volumen ein Teilchen, oder keines - die Diskrepanz wird durch die geschilderte Einsteinsche Lichtquantenhypothese und die Quantentheorie des Lichts beseitigt, da wir dem Licht einen Teilchenaspekt zuschreiben. Ein kleines Beispiel zur Verdeutlichung, statt uns möchte ich hierfür einen Frosch einsetzten, dessen Augen wesentlich besser für die Dunkelheit geeignet sind, als die der Menschen, und eine einfache Taschenlampe. Diese Leuchtet in eine Richtung, in welcher sich auch der Frosch in unserem Gedankenexperiment befindet, wobei dieser genau in die Lichtquelle blickt. Wir entfernen nun den Frosch langsam von dieser, die Lichtintensität wird nun langsam abnehmen, die Lichtquelle erscheint immer dunkler. Irgend wann ist diese scheinbar so schwach, dass für das Menschliche Auge nur noch dunkel herrscht, der Frosch dagegen hat eine geringere Wahrnehmungsschwelle. Entfernen wir diesen nun noch weiter, so wird dieser etwas interessantes bemerken, das wahrgenommene Licht beginnt quasi zu pulsieren. Desto weiter sich dieser nun von der Taschenlampe entfernt, desto seltener wird das Aufblitzen dieser, immer weniger Photonen treffen innerhalb einer Zeiteinheit auf der Netzhaut des Frosches ein.