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ScienceSource.info / Artikel / Mathematik

Differentialgleichungen erster Ordnung

In diesem Kapitel werde ich ausschließlich gewöhnliche Differentialgleichungen behandeln, das heißt, es treten in den Gleichungen keine partiellen Ableitungen der unbekannten Funktion nach mehreren unabhängigen Veränderlichen auf.
Es sei x die unabhängige Veränderliche und y die gesuchte Funktion dieser Veränderlichen. Die allgemeine Form einer Differentialgleichung ist dann

Φ(x, y, y', y'',..., y(n)) = 0

Die höchste Ordnung der in der Gleichung auftauchende Ableitungen der unbekannten Funktion heißt Ordnung der Differentialgleichung.
Die allgemeine Form einer Differentialgleichung erster Ordnung lautet

1.1 Φ(x, y, y') = 0

oder nach y' aufgelöst,

1.2 y' = f(x,y).

Benutzen wir eine andere Beziehung für die Ableitung, so können wir diese Gleichung in der Form

1.3 (dy)/(dx) = f(x,y)

Schreiben.

Genügt eine Funktion

1.4 y = φ(x)

der Differentialgleichung, d. h., wird diese Gleichung beim Einsetzen von φ(x) und φ'(x) für y bzw. y' zu einer Identität in x, so heißt φ(x) Lösung dieser Differentialgleichung. Dabei wird natürlich φ(x) als stetig differenzierbar vorausgesetzt.
Die Ermittlung von Lösungen einer Differentialgleichung wird bisweilen Integration einer Differentialgleichung genannt.
Im einfachen Fall, wenn die rechte Seite der Gleichung 1.2 die Variable y nicht enthält, ergibt sich eine Differentialgleichung der Form

1.5 y' = f(x).

Die Ermittlung der Lösung dieser Gleichung stellt die Grundaufgabe der Integrationsrechnung dar, die Gesamtheit dieser Lösungen ist gegeben durch

1.6 y = int f(x)dx+C,

wobei C eine willkürliche Konstante ist. So existiert also in diesem einfachen Fall eine Schar von Lösungen der Differentialgleichung, die von einer willkürlichen Konstante abhängt. Es zeigt sich, dass auch im allgemeinen Fall eine Differentialgleichung erster Ordnung eine Lösungsschar ergibt, die eine willkürliche Konstante enthält:

1.7 y = φ(x,c).

Wir nennen es allgemeines Integral der Differentialgleichung. Das allgemeine Integral kann impliziert oder nach C aufgelöst angegeben werden:

1.7.1 φ(x,y,C) = 0 oder ω(x,y) = C.

Geben wir C verschiedene Zahlenwerte, so erhalten wir verschiedene Lösungen der Gleichung, sogenannte partikuläre Lösungen.
Sieht man x und y als Punktkoordinaten in der Ebene an, so ordnet die Differentialgleichung 1.2 jedem Punkt (x,y), in dem die Funktion f(x,y) definiert ist, einen Richtungskoeffizienten y' einer Tangente an eine gewisse Kurve zu. Die gesuchte Lösung 1.4 der Gleichung 1.2 ist eine solche Kurve (im Spezialfall eine Gerade), die in jedem ihrer Punkte den Richtungskoeffizienten y' der Tangente besitzt, wie er durch Gleichung 1.2 bestimmt ist.
Eine solche Kurve heißt Integralkurve der Differentialgleichung. Der Begriff der Lösung der Gleichung 1.2 stimmt also mit dem Begriff der Integralkurven dieser Gleichung in der x,y-Ebene überein.
Das allgemeine Integral oder genauer gesagt, eine Kurvenschar, die von einer willkürlichen Konstante abhängt.
Wir setzten voraus, dass die Funktion f(x,y) in einem bestimmten Bereich B oder x,y-Ebene eindeutig und stetig ist. Die Kurve l sei die entsprechende Lösung 1.7 in diesem Bereich, und φ(x) sei definiert auf einen gewissen Intervall I.
Aus der Gleichung 1.3 und aus der Stetigkeit von f(x,y) folgt sofort die Stetigkeit der Ableitung φ'(x) im Intervall I.
Aus der Eindeutigkeit von φ(x) folgt, dass zur y-Achse parallele Geraden die Integralkurve in höchstens einem Punkt schneiden können. Schreiben wir die

1.3.1 (dy)/(dx) = 1/f(x,y),

d. h., betrachten wir nicht y als Funktion von x, sondern x als Funktion von y, so können zur x-Achse parallele Geraden die Integralkurve in höchstens einem Punkt schneiden.
Es sei l eine Integralkurve der Gleichung 1.2 derart, dass nicht nur zur y-Achse parallele Geraden, sondern auch zur x-Achse parallele Geraden diese Kurve l in höchstens einem Punkt schneiden, dann besitzt die Funktion φ(x) Gleichung y = φ(x) eine eindeutige Umkehrfunktion x = φ(y). Dabei ist l auch Integralkurve der Differentialgleichung 1.3.1.
Version 3.2      © 2001-2008 Harald Wolfsgruber