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ScienceSource.info / Artikel / Mathematik

Der Primzahlensatz

Die Primzahlen werden zu grösseren Zahlen hin seltener, und wie Legendre und Gauss vermuteten, existiert folgenden Zusammenhang:
p(x) sei die Anzahl aller Primzahlen kleiner als x (x ist reell), dann gilt zumindest asymtotisch:

Eine bessere Näherung ist li(x):

Das Integral wird li(x) (Logarithmus integralis) genannt. Man kann nachrechnen, dass sich li(x) und x/ln(x) für grosse Zahlen annähern. Noch besser ist die Näherung (zumindest für kleinere Zahlen), wenn man li(x) durch

ersetzt. Wie genau diese Funktionen sind, ist noch nicht vollständig klar. Es ist nicht so, dass x/ln(x) immer zu kleine Werte liefert. Die Zahl, bei der sich die Kurven schneiden ist allerdings so hoch, dass man sie bis heute nicht exakt berechnen kann. Eine obere Grenze für den Schnittpunkt ist die Skewes-Zahl:

Eine neuere Berechnung konnte die Grenze auf 10371 verbessern.
Eine Grafik für Zahlen bis 1000 soll die verschiedenen Funktionen veranschaulichen:

Der Primzahlensatz wurde wurde erst 100 Jahre nach seiner Entdeckung bewiesen (Unabhängig von Hadamard und De La Vallee Poussin, 1896).

Mit freundlicher Unterstützung von Ueli Hafner
Version 3.2      © 2001-2008 Harald Wolfsgruber